Dérivées des fonctions inverses : Imprimer
La Preuve

La fonction inverse La fonction inverse carré La fonction inverse puissance La fonction racine

 

  • Dérivée de la fonction inverse.       retour


La fonction inverse peut être dérivée partout sur R sauf en 0.

On appelle f cette fonction inverse. Ainsi : f(x) =

x est un réel non nul fixé.

Pour déterminer si f est dérivable en x, nous devons étudier la limite de  lorsque h tend vers 0.

Pour tout h non nul, on peut écrire que :

Donc lorsque la limite de lorsque h tend vers 0 est égale à .

Conclusion : la fonction inverse f est dérivable sur . Pour tout réel non nul x :

 

Comme sa cousine, cette fonction peut être dérivée partout sur R sauf en 0.

On appelle f la fonction inverse carré. Ainsi : f(x) =

x est un réel non nul fixé.

   

Conclusion: la fonction inverse carré f est dérivable sur .
Pour tout réel non nul x :

 

  • Dérivée de la fonction inverse puissance.       retour

On appelle f la fonction inverse puissance. Ainsi, pour tout réel non nul x :

f(x) = où x est un réel non nul fixé.

Pour déterminer si f est dérivable en x, nous devons étudier la limite de  lorsque h tend vers 0.

Pour tout h non nul, on peut écrire que:

Conclusion: la fonction inverse f est dérivable sur .
Pour tout réel non nul x : f'(x)= n / xn+1

 

  • Dérivée de la fonction racine.       retour

La fonction racine est définie pour tout réel positif, y compris 0.
Pourtant elle n'est pas dérivable en 0.

On note f la fonction racine. Ainsi : f(x) = x 1/2

x est un réel positif  fixé.

Pour déterminer si f est dérivable en x, nous devons étudier la limite de  lorsque h tend vers 0.

Pour tout h non nul, on peut écrire que:

On doit envisager deux cas :

  • Si  x = 0  alors lorsque h tend vers 0, le quotient tend vers +l'infini . Donc f n'est pas dérivable en 0.

  • Si x est non nul alors f est dérivable en x .

Conclusion: la fonction racine f est dérivable sur . Pour tout réel positif non nul x :

f'(x) = 1 / 2.x 1/2