x est un réel fixé.

u et v est une fonction dérivable point x.

On appelle f la fonction somme de u et v.
Autrement dit, pour tout t : 

f(t) = u(t) + v(t)

Pour déterminer si f est dérivable en x, étudions la limite lorsque h tend vers 0 du quotient .

Pour tout h, on peut écrire que :

Donc lorsque la limite lorsque h tend vers 0 de est égale à u'(x) + v'(x).

x est un réel fixé.

u et v sont deux fonctions dérivables en x. On appelle f leur produit.
Ainsi pour tout t : 

f(t) = u(t) . v(t)

Pour déterminer si f est dérivable en x, nous devons étudier la limite lorsque h tend vers 0 du quotient .

Commenc¸ons par exploiter les dérivabilités de u et v au point x :

• Comme u est dérivable en x alors il existe une fonction e₁ telle que :
  
• Comme v est dérivable en x alors il existe une fonction e₂ telle que :
  

Avant de nous intéresser au quotient , simplifions l'écriture de f(x + h) :

Pour tout h non nul, on peut écrire que :

Donc lorsque la limite lorsque h tend vers 0 du quotient est égale à
u'(x) . v(x) + u(x) . v'(x).

x est un réel fixé.

u est une fonction dérivable et non nulle au point x. On appelle f l'inverse de cette fonction.
Ainsi pour tout t : 

Pour déterminer si f est dérivable en x, étudions la limite de lorsque h tend vers 0.

Pour tout h non nul, on peut écrire que :

Exploitons cette nouvelle écriture du quotient :

Donc lorsque h se rapproche vers 0, le quotient est égale .

x est un réel fixé.

u et v est une fonction dérivable point x. On suppose de plus que v ne s'annule pas en x.

On appelle f la fonction quotient de u et v.
Autrement dit, pour tout t : 

Vu que v ne s'annule pas en x et qu'elle y est dérivable, alors la fonction 1/v est aussi dérivable en x.
Comme les fonctions u et 1/v  sont dérivables en x alors il en va de même pour leur produit.

Donc :