8°) Mode d'une série statistique retour
9°) Moyenne retour
9.1°) Définition
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- n1, n2, n3,
.........,nN sont les effectifs correspondants aux modalités
x1, x2,
x3, .........,xN., si la série est discrète ,
- ou les centres de chaque classe, si la série est continue.
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9.2°) Exemple:
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| Série discrète
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Série continue
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9.3°) Propriétés de la moyenne:
- Considérons une série statistique S de modalités
x1, x2, x3, .........,xN affectées
des effectifs n1, n2, n3, ... ,nN
de moyenne
 ,
et la
série statistique S' de modalités
y1, y2, y3, ... ,yN affectées
des même effectifs n1, ... ,nN telle
que pour tout i appartenant à {1 ; 2 ; ... ; N } :
yi = axi + b.
Alors: la moyenne de la série statistique
S' est telle que :
 =
a + b.
- Soient S1 et S2 deux séries statistiques
d'effectifs totaux respectifs N1 et N2 et de moyennes
respectives
 et
 .
Alors la moyenne de la
série S regroupant les deux séries S1 et S2
est :
= [N1
+ N2 ]/(N1
+ N2).
(cette propriété se généralise).
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10°) Variance et écart type retour
10.1°) Définition
8.1.a°)
Pour calculer la variance d'une série statistique on utilise la
formule :
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Pour calculer la variance , il faut calculer
d'abord la moyenne.
10.1.b°)
La variance peut être calculée aussi en
utilisant la formule :
Preuve:
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10.2°) Ecart-type:
L'écart-type est le
nombre noté  tel que :
 .
Le coefficient de dispersion est le rapport écart-type moyenne : /x
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10.3°) Propriété de l'écart type :
- Considérons une série statistique S de modalités x1,
x2, x3,...,xN affectées des
effectifs n1, n2, n3,
...,nN d'écart type
 ,
et la série statistique S'
de modalités y1, y2, y3,
...,yN affectées des mêmes effectifs n1,n2,n3,
...,nN telle que, pour tout i appartenant à {1 ; 2 ;
...; N } :
yi = axi + b.
Alors l'écart type :  de la série
statistique S' est tel que : = |a|
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11°) Médiane retour
11.1°) Définition
La médiane
est un paramètre de position, qui permet de couper la population étudiée
en deux groupes contenant le même nombre d'individus.
Ce paramètre
est utile pour donner la répartition du caractère étudié,
car 50 % environ
de la population étudiée a une modalité inférieure à la médiane
et 50 % une modalité supérieure à la médiane.
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11.2°) Exemple
On fait une
étude statistique sur les 50 notes attribuées par un jury à un examen, voici
les résultats obtenus en classant ces notes par ordre croissant.
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Variable discrète
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Utilisons la colonne des effectifs
cumulés pour déterminer la médiane : il y a 50 notes, la 25ème
note est 9 et la 26ème : 10.
Voici la répartition des notes :
Dans le tableau il n'y a pas de valeur partageant la série
statistique en deux groupe de même effectif , ( l'effectif total est pair
) dans ce cas l'intervalle médian est [9;10] et on prendre pour médiane
le centre de cet intervalle : 9,5
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Variable continue
Si la variable est
continue ( regroupement par intervalle des résultats ) le calcul de
la médiane se fait autrement :
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Utilisons la colonne des effectifs
cumulés pour déterminer la médiane : Il y a 50 notes, 50 % de l'effectif
total c'est 25, la médiane est ici la note correspondant à l'effectif cumulé
25.
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D'après la colonne
"effectif cumulé" :
- 18 personnes ont moins de 8
- 30 personnes ont moins de 12
La médiane se trouve donc dans l'intervalle [8;12[ ( appelé
classe médiane ). On le détermine par interpolation
linéaire.
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Les points A, M, B sont alignés
ce qui se traduit par les droites (AM) et (AB) ont même coefficient directeur
(ou on utilise le théorème de Thalès dans le triangle bleu ) :
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La médiane est environ 10,33
50 % environ des personnes ont eu moins de 10,33 et 50
% plus de 10,33 .
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12°) Interpolation linéaire retour
13°) Fluctuation et échantillonnage retour
13.1°) Echantillon:
Définition:
Remarques:
Exemples:
13.2°) Fluctuation d'un échantillonnage:
Définition:
Exemple:
13.3°) Intervalle de fluctuation:
Définition:
Exemple:
Propriété:
Remarque:
Exemple:
13.4°) Intervalle de confiance:
Définition:
Propriété:
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