Dans ce paragraphe , nous cherchons à déterminer la limite lorsque x tend vers +¥ du quotient . Pour y parvenir, on utlise la fonction auxiliaire f. On considère la fonction f définie pour tout réel strictement positif x par : f(x) = - ln(x) Démontrons qu'à partir d'un certain moment f(x) est toujours positive. En tant que différence de deux fonctions dérivables sur ]0 ; +¥[, f est dérivable sur cet intervalle. Calculons sa dérivée. Pour tout x : Or lorsque x est strictement plus grand que 4 : Le numérateur  - 2  est strictement positif. Le dénominateur  2.x  est plus grand que 0. Donc  f'(x) est strictement positive.  Donc f est croissante sur l'intervalle [4 ; +¥[ . Etudions ce qui se passe  en 4 : nous devons donc calculer  f(4). f(4) = 2 - ln(4) = 2 - 2 . ln(2) = 2 . (1 - ln (2))  Or ln(2) est compris entre 0,5 et 1. Donc  f'(4) est ≥0 . En résumé, les variations de f sur l'intervalle [4 ; +¥[ sont : Donc lorsque x est plus grand que 4,  f(x) > 0   > ln(x) Pour compléter le tableau, il faut rappeler que le logarithme d'un nombre plus grand que 1 est positif. C'est donc à fortiori vrai lorsqu'il est supérieur à 4. Donc , lorsque x est plus grand que 4, on peut écrire que : Encadrée par deux fonctions qui tendent vers 0 , le quotient ne peut tendre que vers 0. C'est le ( Théorème des gendarmes) Conclusion 1 : lorsque x tend vers +¥, tend vers 0. La fonction identité croit plus vite que le logarithme népérien .

       2.c) ln et x^a .

Rappelons que a est un réel strictement positif. Pour tout réel strictement positif x, on peut écrire que : Or lorsque x tend vers +¥, alors  xa  tend aussi vers +¥. donc    tend vers 0. donc tend aussi vers 0.   Conclusion 2: la limite du quotient    lorsque x tend vers  +¥, est égale à 0.  Une fonction puissance xa , avec a strictement positif l'emporte toujours sur le logarithme.

Conclusion :  à l'infini, la fonction puissance xa croit plus vite que le logarithme népérien. donc lorsque a est strictement positif : En particulier :

•   3.a) Etudions les courbes :

A gauche, la fonction exponentielle		A droite, des fonctions puissances
La famille des fonctions puissances comprend entre autres les fonctions racine, identité et carrée. Elles croissent plus rapidement...

 

Déterminons la limite du quotient    lorsque x tend vers +¥. Où a est un réel strictement positif. Pour tout réel strictement positif x, on peut écrire que : Lorsque x tend vers + l'infini, nous savons que    tend vers 0 donc  1 - a .  tend vers 1 donc    tend vers +¥ donc    tend lui aussi vers l'infini. Le quotient a donc pour limite +¥ lorsque x tend vers +¥.

Conclusion : À l'infini, la fonction exponentielle l'emporte sur n'importe quelle fonction puissance. Autrement dit, si est strictement positif : En particulier:

A gauche, le logarithme nép&eacutr;rien		A droite, la fonction exponentielle
La fonction logarithme népérien croit moins vite que la fonction puissance.		La fonction exponentielle croit plus vite que la fonction puissance

D' où la limite du quotient    lorsque x tend vers +¥. Pour la connaître, nous utiliserons ce que nous avons fait précédemment. Pour tout réel strictement positif x, on peut écrire que : Or lorsque x tend vers +¥ : Le quotient    tend vers +¥. Comme    tend vers 0  alors  le quotient positif    tend vers +¥. En tant que produit de deux fonctions qui tendent vers + l'infini, le quotient    tend vers +¥.

Conclusion:

A l'issue de cette étude , nous pouvons classer les fonctions puissances, logarithme et exponentielle selon l'intensité de leur croissance vers l'infini. Voici ce classement :

ln(x)		x	x2	x3	ex = exp(x)
Classement des fonctions selon la force de leur croissance

Dans un quotient, c'est la "plus forte" qui imposera sa loi en allant vers l'infini.

Epilogue : la détermination de certaines limites.

• Déterminons la limite lorsque x tend vers + l'infini de f(x) = e^x - x²

  A première vue, à l'infini il y a là une forme indéterminée : 
  f(x) = l' infini - l' infini.
  Nous allons , comme dans le cas des polynômes, factoriser par le terme le "plus fort" qui est ici e^x.

  Pour tout réel x, on peut écrire que :

  

  Lorsque x tend vers + l'infini,	tend vers 0.
  	donc  1 -  tend vers 1.
  	donc f(x) tend vers + l'infini.

  Conclusion : la limite de  f(x) = ex - x2  lorsque x tend vers + l'infini est égale à + l'infini.

   



• Déterminons la limite en + l'infini de f(x) = .

  Comme dans le cas des fonctions rationnelles : factorisons le numérateur et le dénominateur par leurs termes de plus haut degré.

  Pour tout réel strictement positif x, on peut écrire que :

  

  D'abord, lorsque x tend vers  + l'infini, alors    tend vers 0.

  Enfin, lorsque x tend vers + l'infini,	- 1  tend vers -1	donc leur quotient tend vers -1
  	1 -   tend vers 1

  Donc lorsque x tend vers + l'infini, f(x) tend vers 0.

  Conclusion : la limite de  f(x) =   lorsque x tend vers + l'infini est égale à 0.